设 $f(t)$ 满足傅里叶积分定理的条件，试证明：
（1）$f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t d \omega+\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} b(\omega) \sin \omega t d \omega$ ，其中

$$
a(\omega)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau d \tau, \quad b(\omega)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau d \tau
$$

（2）若 $f(t)$ 为奇函数，则有（正弦傅里叶积分公式）

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} b(\omega) \sin \omega t d \omega \text {, 其中 } b(\omega)=\int_0^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau d \tau \text {. }
$$
（3）若 $f(t)$ 为偶函数，则有（余弦傅里叶积分公式）

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t d \omega \text {, 其中 } a(\omega)=\int_0^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau d \tau \text {. }
$$