如图，已知抛物线 $y=a x^2+b x+4(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0), B(2,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
（1）求拖物线的解析式及点 $C$ 的坐标；
（2）若 $F$ 为抛物线上一点，连接 $B C$ ，是否存在以 $B C$ 为底的等腰 $\triangle B C F$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$