题号:2863    题型:解答题    来源:2022年福建中考数学真题
如图, $\triangle A B C$ 内按于 $\odot O, A D / / B C$ 交 $\odot O$ 于点 $D, D F / / A B$ 交 $B C$ 于点 $E$, 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $A F, C F$.
(1) 求证. $A C=A F$;
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $3, \angle C A F=30^{\circ}$, 求 $\overparen{A C}$ 的长 (结果保留 $\pi$ ).
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答案:
证明: (1) $\because A D / / B C, D F / / A B$,
$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 是平行四边形,
$\therefore \angle B=\angle D$.
又 $\angle A F C=\angle B, \angle A C F=\angle D$,
$\therefore \angle A F C=\angle A C F$,
$\therefore A C=A F$.
(2) 连接 $A O, C O$.
由 (1) 得 $\angle A F C=\angle A C F$,
又 $\because \angle C A F=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A F C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$,
$\therefore \angle A O C=2 \angle A F C=150^{\circ}$.
$\therefore \overparen{A C}$ 的长 $l=\frac{150 \times \pi \times 3}{180}=\frac{5 \pi}{2}$.

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