将函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后得到 $y=g(x)$ 的图象如图，则
A
$f(x)$ 为奇函数
B
$f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增
C
方程 $f(x)=1$ 在 $(0,2 \pi)$ 内有 4 个实数根
D
$f(x)$ 的解析式可以是 $f(x)=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
E
F