已知函数 $y=g(x)$ 的图象与函数 $y=\sin 2 x$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，将 $g(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到函数 $y=f(x)$ 的图象，则函数 $y=f(x)$ 在 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时的值域为（ ）
A
$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
B
$\left[-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
C
$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$
D
$[0,1]$
E
F