题号:2798    题型:解答题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{k}{3}(k=1,2), Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)= \begin{cases}y, & 0 \leqslant y < 1, \\ 2-y, & 1 \leqslant y < 2, \text { 记 } Z=Y-X \text {. 求: } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$
(1) $P\{Z \leqslant 0 \mid X < 2\}, P\{Z \leqslant 0\}$;
(2) $Z$ 的概率密度.
0 条评论 分享 0 人推荐 收藏 ​ ​ 12 次查看 我来讲解
答案:
(1) 由 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 得
$$
\begin{gathered}
P\{Z \leqslant 0 \mid X < 2\}=P\{Y-X \leqslant 0 \mid X=1\}=P\{Y \leqslant 1 \mid X=1\} \\
=P\{Y \leqslant 1\}=\int_{-\infty}^1 f_Y(y) \mathrm{d} y=\int_0^1 y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} . \\
P\{Z \leqslant 0\}=P\{Z \leqslant 0 \mid X=1\} P\{X=1\}+P\{Z \leqslant 0 \mid X=2\} P\{X=2\}
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+P\{Y \leqslant 2 \mid X=2\} P\{X=2\} \\
=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+P\{Y \leqslant 2\} P\{X=2\} \\
=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+1 \times \frac{2}{3}=\frac{5}{6} . \\
F_Z(z) &=P\{Z \leqslant z\}=P\{Y-X \leqslant z\} \\
&=P\{Y-X \leqslant z, X=1\}+P\{Y-X \leqslant z, X=2\} \\
&=P\{Y \leqslant z+1, X=1\}+P\{Y \leqslant z+2, X=2\} \\
&=P\{Y \leqslant z+1\} P\{X=1\}+P\{Y \leqslant z+2\} P\{X=2\} \\
&=\frac{1}{3} F_Y(z+1)+\frac{2}{3} F_Y(z+2),
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
f_Z(z) &=F_Z^{\prime}(z)=\frac{1}{3} F_Y^{\prime}(z+1)+\frac{2}{3} F_Y^{\prime}(z+2)=\frac{1}{3} f_Y(z+1)+\frac{2}{3} f_Y(z+2) \\
&= \begin{cases}0, & z < -2, \\
0+\frac{2}{3}(z+2)=\frac{2}{3}(z+2), & -2 \leqslant z < -1, \\
\frac{1}{3}(z+1)+\frac{2}{3}[2-(z+2)]=\frac{1}{3}(1-z), & -1 \leqslant z < 0, \\
\frac{1}{3}[2-(z+1)]+0=\frac{1}{3}(1-z), & 0 \leqslant z < 1, \\
0, & z \geqslant 1\end{cases} \\
&= \begin{cases}\frac{2}{3}(z+2), \quad-2 \leqslant z < -1, & \\
\frac{1}{3}(1-z), & -1 \leqslant z < 1, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases}
\end{aligned}
$$

关闭