甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分．设每个球甲胜概率为 $p\left(\frac{1}{2} < p < 1\right)$ ．乙胜概率为 $q, ~ p+q=1$ ，且各球胜负独立．对正整数 $k \geqslant 2$ ，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率．
（1）求 $p_3, p_4$（用 $p$ 表示）．
（2）若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$ ，求 $p$ ．
（3）证明：对任意正整数 $m, ~ p_{2 m+1}-q_{2 m+1} < p_{2 m}-q_{2 m} < p_{2 m+2}-q_{2 m+2}$