已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^2-k x^3$ ，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$ ．
（1）证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一零点
（2）设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的极值点和零点
（i）设函数 $g(t)=f\left(x_1+t\right)-f\left(x_1-t\right)$ ．证明：$g(t)$ 在 $\left(0, x_1\right)$ 单调递减；
（ii）比较 $2 x_1$ 与 $x_2$ 的大小，并证明．