双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 左、右焦点为 $F_1, F_2$ ．左右顶点为 $A_1, A_2$ ．以 $F_1 F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M 、 N$ ，且 $\angle N A_1 M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则（）
A
$\angle A_1 M A_2=\frac{\pi}{6}$
B
$\left|M A_1\right|=2\left|M A_2\right|$
C
$C$ 离心率为 $\sqrt{13}$
D
当 $a=\sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_1 M A_2$ 面积为 $8 \sqrt{3}$
E
F