设函数 $f(x)=5 \cos x-\cos 5 x$ ．
（1）求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 的最大值；
（2）给定 $\theta \in(0, \pi), a$ 为给定实数，证明：存在 $y \in[a-\theta, a+\theta]$ ，使得 $\cos y \leqslant \cos \theta$ ；
（3）若存在 $\varphi$ ，使得对任意 $x$ ，都有 $5 \cos x-\cos (5 x+\varphi) \leqslant b$ ，求 $b$ 的最小值．