设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(y)$ ，及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$（可以直接利用二维正态密度的性质）．
（2）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么？