某选数游戏规则：给定 $n$ 个不同数（参与者不知道具体数值但知道 $n$ 的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按 Y 键选择该数，或按 N 键跳过继续查看下一个数，一旦按 Y 键选择，该游戏结束；若前 $n-1$ 个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数。最终所选数若为这 $n$ 个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．

小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的 $n$ ，前 $m-1$ 个数均按 N 键跳过（ $1 \leq m \leq n, m=1$ 表示直接选取第一次出现的数），从第 $m$ 个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按 Y 键选择，否则按 N 键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为 $P_m$ ．
（1）当 $n=3$ 时，写出 $P_1, P_2, P_3$ 的值；
（2）当 $n=2022$ 时，求 $P_m$ ，并证明当 $P_m$ 最大时，$m$ 满足

$$
\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{2021} < 1 < \frac{1}{m-1}+\frac{1}{m}+\cdots+\frac{1}{2021}
$$

（3）已知当 $n \geq 500$ 时， $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \approx \ln n+C(C=0.5772 \cdots$ 为欧拉常数）．在本次游戏中，如果 $n=2022, P_m$ 最大时，求 $m$ 的估计值 $(e \approx 2.7)$ ．