将 $A, B, C$ 三个字母之一输人信道，输出为原字母的概率为 $\alpha$ ，而输出为其他一字母的概率都是 $\frac{1-\alpha}{2}$ ，今将字母串 $A A A A, B B B B, C C C C$ 之一输入信道，输入 $A A A A, B B B B, C C C C$的概率分别为 $p_1, p_2, p_3\left(p_1+p_2+p_3=1\right)$ ，已知输出为 $A B C A$ ，问输入的是 $A A A A$ 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。