题号:2659    题型:填空题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
如图, 三棱雉 $A-B C D$ 中, $A B=A D, A O \perp$ 平面 $B C D$, 点 $O$ 在线段 $C D$ 上, 且满足 $O D=2 O C=2, B D=\sqrt{3} O B$.
(1) 证明: $B C \perp A D$;
(2) 若二面角 $C-A B-D$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$, 求三棱雉 $A-B C D$ 的体积.
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答案:
(1)证明: $A O \perp$ 平面 $B C D, \therefore A O \perp B O, A O \perp O D, \because A B=A D, \therefore \triangle A O B \cong \triangle A O D, \therefore O B=$ $O D, \therefore B D=\sqrt{3} O B=2 \sqrt{3}$, 由余弦定理得 $\cos \angle B O D=\frac{B O^2+D O^2-B D^2}{2 B O \cdot D O}=\frac{4+4-(2 \sqrt{3})^2}{2 \times 2 \times 2}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \angle B O D=\frac{2 \pi}{3}, \therefore \angle B O C=\frac{\pi}{3}, \because B O=2, O C=1$, 由余弦定理得 $B C=\sqrt{3}, \therefore B C \perp C O, \cdots$ (3 分) $\because A O \perp$ 平面 $B C D, A O \subset$ 平面 $A C D \therefore$ 平面 $A C D \perp$ 平面 $B C D , \because$ 平面 $A C D \cap$ 平面 $B C D=C D$,
(2) 由 (1) 知 $B C \perp C D$, 过点 $C$ 作 $C z / / A O$, 以 $C$ 为原点, 以 $C D, C B, C z$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴建立空 间直角坐标系,

则 $C(0,0,0), B(0, \sqrt{3}, 0), D(3,0,0)$,
(6 分)
设 $A O=a$, 则 $A(1,0, a)$,
$\overrightarrow{B A}=(1,-\sqrt{3}, a), \overrightarrow{B D}=(3, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{C A}=(1,0, a)$, 设平面 $A B C$, 平面 $A B D$ 的法向量
分别为 $\bar{n}_1=\left(x_1, y_1, z_1\right), \overline{n_2}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{B A}=x_1-\sqrt{3} y_1+a z_1=0 \\ \bar{n}_1 \cdot \overrightarrow{C A}=x_1+a z_1=0\end{array}\right.$, 令 $z_1=-1$,
可得 $\overrightarrow{n_1}=(a, 0,-1) ;\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2} \cdot \overrightarrow{B A}=x_2-\sqrt{3} y_2+a z_2=0 \\ \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{B D}=3 x_2-\sqrt{3} y_2=0\end{array}\right.$, 令 $x_2=1$, 可得 $\overrightarrow{n_2}=\left(1, \sqrt{3}, \frac{2}{a}\right)$,
设二面角 $C-A B-D$ 的大小为 $\theta$, 则 $\sin \theta=\frac{2 \sqrt{6}}{5}, \therefore|\cos \theta|=\frac{1}{5}$,

$$
\therefore|\cos \theta|=\left|\cos < \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right\rangle \mid=\frac{\left|a-\frac{2}{a}\right|}{\sqrt{a^2+1} \sqrt{1+3+\frac{4}{a^2}}}=\frac{1}{5} \text {, 解得 } a=2 \text { 或 } a=\frac{2 \sqrt{14}}{7} \text {, }
$$
当 $a=2$ 时, $V_{A-B C D}=\frac{1}{3} \times 2 S_{\triangle B C D}=\frac{1}{3} \times 2 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3}=\sqrt{3}$;
当 $a=\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ 时, $V_{A-B C D}=\frac{1}{3} \times \frac{2 \sqrt{14}}{7} S_{\triangle B C D}=\frac{1}{3} \times \frac{2 \sqrt{14}}{7} \times \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{42}}{7}$,
故三棱雉 $A-B C D$ 的体积为 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{42}}{7}$.

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