题号:2656    题型:填空题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
类型:模拟考试
若存在 $a > 0, b > 0$, 满足 $a+t(b-2 e a) \ln b=t(b-2 e a) \ln a$, 其中 $e$ 为自然对数的底数, 则实数 $t$ 的取值范围是
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答案:
$t > =\frac{1}{e}$ 或 $t < 0$

解析:

由 $a+t(b-2 e a) \ln b=t(b-2 e a) \ln a$, 得 $a+t(b-2 e a) \ln \frac{b}{a}=0$, 两边同除 $a$ 得 $1+t\left(\frac{b}{a}-2 e\right) \ln \frac{b}{a}=0$, 令 $x=\frac{b}{a} > 0$, 则上式等价于 $1+t(x-2 e) \ln x=0$, 显然 $t \neq 0$, 故等价于 $-\frac{1}{t}=(x-2 e) \ln x$ 有解, 令 $f(x)=(x-2 e) \ln x, \quad f^{\prime}(x)=\ln x+1-\frac{2 e}{x}, \therefore f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 又 $\because f^{\prime}(e)=0, \therefore f(x)$ 在 $(0, e)$ 单调递减, 在 $(e,+\infty)$ 单调递增, $f(x)$ 在 $x=e$ 处取极小值 $f(e)=-e$ 且当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow+\infty$, 则 $f(x) \geq-e \therefore$ 要使上式有解只需 $-\frac{1}{t} \geq-e, \therefore t \geq \frac{1}{e}$ 或 $t < 0$.

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