题号:2650    题型:多选题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
类型:模拟考试
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n > 0, \frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{a_n^2+n-1}\left(n \in N^*\right)$, 数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则下 列结论正确的是
$A.$ $a_1 a_2=1$ $B.$ $a_1=1$ $C.$ $S_{2020} \cdot a_{2021}=2020$ $D.$ $S_{2020} \cdot a_{2021} > 2020$
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答案:
AC

解析:

由 $\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{a_n^2+n-1}$ 得 $\frac{n}{a_{n+1}}=a_n+\frac{n-1}{a_n}, \therefore a_n=\frac{n}{a_{n+1}}-\frac{n-1}{a_n}$; 当 $n=1$ 时, 可得 $a_1 a_2=1, a_1$ 不可 求, $\therefore \mathrm{A}$ 对.
$$
S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\left(\frac{1}{a_2}-\frac{0}{a_1}\right)+\left(\frac{2}{a_3}-\frac{1}{a_2}\right)+\cdots+\left(\frac{n}{a_{n+1}}-\frac{n-1}{a_n}\right)=\frac{n}{a_{n+1}}, \therefore S_n \cdot a_{n+1}=n
$$
$\therefore n=2020$ 时, $S_{2020} \cdot a_{2021}=2020, \therefore$ 选AC.

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