题号:2548    题型:解答题    来源:2022年八年级数学上册第一次月考试卷
如图, $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C$ 于 $D$, 若 $B D=A D, F D=C D$.
(1) 求证: $\angle F B D=\angle C A D$;
(2) 求证: $B E \perp A C$.
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答案:
证明: (1) $\because A D \perp B C$,
$\therefore \angle A D C=\angle B D F=90^{\circ}$,
$\because$ 在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle B D F$ 中
$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{BD}=\mathrm{AD} \\ \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BDF}, \\ \mathrm{DF}=\mathrm{CD}\end{array}\right.$ $\therefore \triangle A D C \cong \triangle B D F(S A S)$,
$\therefore \angle F B D=\angle C A D$
(2) $\because \angle B D F=90^{\circ}$,
$\therefore \angle F B D+\angle B F D=90^{\circ}$,
$\because \angle A F E=\angle B F D$,
由 (1) 知: $\angle F B D=\angle C A D$,
$\therefore \angle C A D+\angle A F E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A E F=180^{\circ}-(\angle C A D+\angle A F E)=90^{\circ}$,
$\therefore B E \perp A C$.
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