题号:2521    题型:解答题    来源:黄冈市2022年高三年级9月调研考试
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 各项均为正数且满足 $a_n^2-(n-1) a_n-2 n^2+n=0$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=3$, 且 $b_{n+1}=3 b_n+3^{n+1}$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $c_n=b_n+a_n$, 求 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
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答案:
18. 解析: (1) $a_n^2-(n-1) a_n-2 n^2+n=0$ 可以分解为 $\left(a_n-(2 n-1)\right)\left(a_n+n\right)=0$, $\because a_n > 0, \therefore a_n=2 n-1$ 。 $\because b_{n+1}=3 b_n+3^{n+1}$, 左右两边同除以 $3^{n+1}$, 得 $\frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{b_n}{3^n}+1, \therefore \frac{b_n}{3^n}=1+n-1=n, \therefore b_n=n \cdot 3^n$


(2) $\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n(2 i-1)=n^2$,
$$
b_n=n \cdot 3^n=\frac{1}{2}(3 n-(n-1)-1) 3^n=\frac{1}{2}\left(n \cdot 3^{n+1}-(n-1) \cdot 3^n\right)-\frac{1}{2} 3^n
$$
$$
\therefore \sum_1^n b_i=\frac{1}{2} n \cdot 3^{n+1}-\frac{1}{4}\left(3^{n+1}-3\right)=\frac{1}{4}(2 n-1) 3^{n+1}+\frac{3}{4}
$$
1
$$
\therefore \sum_1^n a_i+\sum_1^n b_i=n^2+\frac{1}{4}(2 n-1) 3^{n+1}+\frac{3}{4}
$$

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