已知函数 $y=f(x)$ 对于任意的 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 均满足 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x=\ln x$, 其中 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数, 则下列不等式成立的是
$\text{A.}$ $\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\text{B.}$ $2 f\left(\frac{\pi}{12}\right)>(\sqrt{3}+1) f\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\text{C.}$ $(\sqrt{3}-1) f\left(\frac{\pi}{3}\right) < \sqrt{2} f\left(\frac{5 \pi}{12}\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}-1) f\left(\frac{\pi}{3}\right)>\sqrt{2} f\left(\frac{5 \pi}{12}\right)$