已知奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，其导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，有 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x>0$ 成立，则关于 $x$ 的不等式 $|f(x)| < \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos x$ 的解集为（ ）
A
$\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$
B
$\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right) \cup\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
C
$\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
D
$\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right) \cup\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
E
F