题号:2479    题型:解答题    来源:2021-2022学年濮阳高一第一次月考数学试卷
(1) 已知二次函数 $f(x)$ 满足条件 $f(0)=1$ 及 $f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$.
(2) 若 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$, 求 $f(x)$.
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答案:
解: (1) 设 $f(x)=a x^2+b x+c$, 由 $f(0)=1$, 得 $c=1$,

$\because f(x+1)-f(x)=2x$
,
$\therefore\left\{\begin{array}{c}2 a=2 \\ a+b=0\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{c}a=1 \\ b=-1\end{array}\right.$,
$\therefore f(x)=x^2-x+1$;

(2) $\because f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$ ①,
$\therefore f\left(\frac{1}{x}\right)+2 f(x)=\frac{3}{x}②$,
①②组成方程组, 解得: $f(x)=\frac{2}{x}-x$.

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