题号:2459    题型:解答题    来源:2021-2022 学年河南省郑州外国语中学九年级 (上) 开学
类型:期中考试
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}, E$ 是对角线 $A C$ 上一点. $F$ 是线段 $B C$ 延长线上一点, 且 $C F=A E$, 连接 $B E$.
(1) 发现问题 如图①, 若 $E$ 是线段 $A C$ 的中点, 连接 $E F$, 其他条件不变, 填空: 线段 $B E$ 与 $E F$ 的数 量关系是
(2) 探究问题 如图②, 若 $E$ 是线段 $A C$ 上任意一点, 连接 $E F$, 其他条件不变, 猜想线段 $B E$ 与 $E F$ 的 数量关系是什么? 请证明你的猜想;
(3) 解决问题 如图③, 若 $E$ 是线段 $A C$ 延长线上任意一点, 其他条件不变, 且 $\angle E B C=30^{\circ}, A B=1$, 请直接写出 $A F$ 的长度.

编辑试题 我来讲解
答案:
解: (1) 猜想线段 $B E$ 与 $E F$ 的数量关系为: $B E=E F$; 理由如下:
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,
$$
\therefore A B=B C \text {, }

\because \angle A B C=60^{\circ} \text {, }
$$
$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,
$\therefore \angle B C A=60^{\circ}$,
$\because E$ 是线段 $A C$ 的中点,
$\therefore \angle C B E=\angle A B E=30^{\circ}, A E=C E$,
$\because C F=A E$,
$\therefore C E=C F$,
$\therefore \angle F=\angle C E F=\frac{1}{2} \angle B C A=30^{\circ}$,
$\therefore \angle C B E=\angle F=30^{\circ}$,
$\therefore B E=E F$.
故答案为 $B E=E F$.

(2) 猜想线段 $B E$ 与 $E F$ 的数量关系为: $B E=E F$; 理由如下:
过点 $E$ 作 $E G / / B C$ 交 $A B$ 于点 $G$, 如图(2)所示:
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle A B C=60^{\circ}$,
$\therefore A B=B C, \angle B C D=120^{\circ}, A B / / C D, \triangle A B C$ 与 $\triangle A C D$ 都是等边三角形,
$\therefore \angle A C D=60^{\circ}, \angle D C F=\angle A B C=60^{\circ}, A B=A C$,
$\therefore \angle E C F=120^{\circ}$,
又 $\because E G / / B C$,
$\therefore \angle A G E=\angle A B C=60^{\circ}$,
又 $\because \angle B A C=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle A G E$ 是等边三角形,
$\therefore A G=A E=G E$,
$\therefore B G=C E, \angle B G E=120^{\circ}=\angle E C F$,
又 $\because C F=A E$,
$\therefore G E=C F$,
在 $\triangle B G E$ 和 $\triangle C E F$ 中,
$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{BG}=\mathrm{CE} \\ \angle \mathrm{BGE}=\angle \mathrm{ECF}, \\ \mathrm{GE}=\mathrm{CF}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle B G E \cong \triangle E C F(S A S)$,

$$
\therefore B E=E F \text {. }
$$
(3) 连接 $E F$, 过点 $E$ 作 $E G / / B C$ 交 $A B$ 延长线于点 $G$, 如图(3)所示:
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle A B C=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A B=A C, \angle A C B=60^{\circ}, \\
&\therefore \angle E C F=60^{\circ}, \\
&\text { 又 } \because E G / / B C, \\
&\therefore \angle A G E=\angle A B C=60^{\circ}, \\
&\text { 又 } \because \angle B A C=60^{\circ},
\end{aligned}
$$
$\therefore \triangle A G E$ 是等边三角形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A G=A E=G E, \\
&\therefore B G=C E, \angle A G E=\angle E C F, \\
&\text { 又 } \because C F=A E, \\
&\therefore G E=C F,
\end{aligned}
$$
在 $\triangle B G E$ 和 $\triangle C E F$ 中,
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{BG}=\mathrm{CE} \\
\angle \mathrm{AGE}=\angle \mathrm{ECF}, \\
\mathrm{GE}=\mathrm{CF}
\end{array}\right.
$$
$\therefore \triangle B G E \cong \triangle E C F(S A S)$,
$\therefore B E=E F$,
$\because \angle A B C=60^{\circ}, \angle E B C=30^{\circ}$,

$$
\therefore \angle A B E=\angle A B C+\angle E B C=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ} \text {, }
$$
$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,
$\therefore \angle B A C=60^{\circ}$,
$\therefore \angle B E A=180^{\circ}-\angle A B E-\angle B A C=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,
在 Rt $\triangle A B E$ 中, $\angle B E A=30^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A E=2 A B=2 \times 1=2, B E=\frac{A B}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} \\
&\therefore E F=\sqrt{3} \\
&\because B E=E F
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle E B C=\angle E F B=30^{\circ}, \\
&\therefore \angle B E F=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}, \\
&\therefore \angle A E F=\angle B E F-\angle B E A=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}, \\
&\text { 由勾股定理得: } A F=\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{EF}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7} .
\end{aligned}
$$

解析:

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