题号:2418    题型:解答题    来源:2022年玉林市中考数学真题
如图, 已知抛物线: $y=-2 x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B(2,0)$ ( $A$ 在 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于点 $C$, 对称轴是直线 $x=\frac{1}{2}, P$ 是第一象限内抛物线上的任一点.


(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点 $D$ 为线段 $O C$ 的中点, 则 $\triangle P O D$ 能否是等边三角形? 请说明理由;
(3) 过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与线段 $B C$ 交于点 $M$, 垂足为点 $H$, 若以 $P, M, C$ 为顶点的三角形与 $\triangle B M H$ 相似, 求点 $P$ 的坐标.
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答案:
【小问 1 详解】
$\because y=-2 x^2+b x+c$ 的对称轴为 $x=\frac{1}{2}$,
$\therefore-\frac{b}{2 \times(-2)}=\frac{1}{2}$, 即 $b=2$,
$\because y=-2 x^2+b x+c$ 过 $B$ 点 $(2,0)$,
$\therefore-2 \times 2^2+b \times 2+c=0$,
$\therefore$ 结合 $b=2$ 可得 $c=4$,
即抛物线解析式为: $y=-2 x^2+2 x+4$;
【小问 2 详解】
$\triangle P O D$ 不可能是等边三角形,
理由如下:
假设 $\triangle P O D$ 是等边三角形, 过 $P$ 点作 $P N \perp O D$ 于 $N$ 点, 如图,


$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=-2 x^2+2 x+4=4$,
$\therefore C$ 点坐标为 $(0,4)$,
$\therefore O C=4$,
$\because D$ 点是 $O C$ 的中点,
$\therefore D O=2$,
$\because$ 在等边 $\triangle P O D$ 中, $P N \perp O D$,
$\therefore D N=N O=\frac{1}{2} D O=1$,
$\because$ 在等边 $\triangle P O D$ 中, $\angle N O P=60^{\circ}$,
$\therefore$ 在 $R t \triangle N O P$ 中, $N P=N O \times \tan \angle N O P=1 \times \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$,

$\therefore P$ 点坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$,
经验证 $P$ 点不在抛物线上,
故假设不成立,
即 $\triangle P O D$ 不可能是等边三角形;
【小问 3 详解】
$\because P H \perp B O$,
$\therefore \angle M H B=90^{\circ}$,
根据 (2) 中的结果可知 $C$ 点坐标为 $(0,4)$,
即 $O C=4$,
$\because B$ 点 $(2,0)$,
$\therefore O B=2$,
$\therefore \tan \angle C B O=2$,
分类讨论
第一种情况: $\triangle B M H \sim \triangle C M P$,
$\therefore \angle M H B=\angle M P C=90^{\circ}$,
$\therefore P C / / O B$,
$\therefore$ 即 $P$ 点纵坐标等于 $C$ 点纵坐标, 也为 4 ,
当 $y=4$ 时,$-2 x^2+2 x+4=4$,
解得: $x=1$ 或者 0 ,
$\because P$ 点在第一象限,
$\therefore$ 此时 $P$ 点坐标为 $(1,4)$,

第二种情况: $\triangle B M H \sim \triangle P M C$, 过 $P$ 点作 $P G \perp y$ 轴于点 $G$, 如图,



$\because \triangle B M H \sim \triangle P M C$,
$$
\therefore \angle M H B=\angle M C P=90^{\circ} \text {, }
$$

\begin{aligned}
&\therefore \angle G C P+\angle O C B=90^{\circ}, \\
&\because \angle O C B+\angle O B C=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle G C P=\angle O B C, \\
&\therefore \tan \angle G C P=\tan \angle O B C=2, \\
&\because P G \perp O G, \\
&\therefore \text { 在 Rt } \triangle P G C \text { 中, } 2 G C=G P, \\
&\text { 设 } G P=a, \\
&\therefore G C=\frac{1}{2} a, \\
&\therefore G O=\frac{1}{2} a+O C=\frac{1}{2} a+4, \\
&\because P G \perp O G, P H \perp O H, \\
&\therefore \text { 可知四边形 } P G O H \text { 是矩形, } \\
&\therefore P H=O G=\frac{1}{2} a+4, \\
&\therefore P \text { 点坐标为 }\left(a, \frac{1}{2} a+4\right), \\
&\therefore \frac{1}{2} a+4=-2 a^2+2 a+4,
\end{aligned}

解得: $a=\frac{3}{4}$ 或者 0 ,
$\because P$ 点在第一象限,
$$
\therefore a=\frac{3}{4} \text {, }
$$
$$
\therefore \frac{1}{2} a+4=\frac{35}{8} \text {, }
$$
此时 $P$ 点坐标为 $\left(\frac{3}{4}, \frac{35}{8}\right)$;
$\because \triangle B M H$ 与 $\triangle P C M$ 中, 有 $\angle B M H=\angle P M C$ 恒相等,
$\therefore \triangle P C M$ 中, 当 $\angle C P M$ 为直角时, 若 $\angle P C M=\angle B M H$, 则可证 $\triangle P C M$ 是等腰直角三角形,
通过相似可知 $\triangle B M H$ 也是等腰直角三角形, 这与 $\tan \angle C B O=2$ 相矛盾, 故不存在当 $\angle C P M$ 为直角时,
$\angle P C M=\angle B M H$ 相等的情况;
同理不存在当 $\angle P C M$ 为直角时, $\angle C P M=\angle B M H$ 相等的情况,
综上所述: $P$ 点坐标为: $(1,4)$ 或者 $\left(\frac{3}{4}, \frac{35}{8}\right)$.
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