题号:2389    题型:解答题    来源:2022年江苏省百校联考高三年级第一次考试
近年来, 师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校 2022 年参加高考的 90 位文科考生首 选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况,经统计,首选志愿填报与性别情况如下表:(单位:人)


(1)根据表中数据.能否有 $95 \%$ 的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关?
(2)用样本估计总体, 用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率, 从 2022 年全国文科考生中随 机抽取 3 人, 设被抽取的 3 人中首选志愿为师范专业的人数为 $X$, 求 $X$ 的分布列、数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$.
附: $\chi^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, \quad n=a+b+c+d$.
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答案:
(1) $\chi^2=\frac{90(25 \times 25-35 \times 5)^2}{60 \times 30 \times 30 \times 60}=5.625 > 3.841$,
$\therefore$ 有 $95 \%$ 的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
(2)某个考生首选志愿为师范专业的概率 $P=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$,
$X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$,
$$
P(X=0)=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}, \quad P(X=1)=C_3^1 \cdot \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9},
$$
$$
P(X=2)=C_3^2 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9}, \quad P(X=3)=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27},
$$
$\therefore X$ 的分布列如下:



$$
\therefore E(X)=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=1, \quad D(X)=1 \times \frac{8}{27}+1 \times \frac{2}{9}+\frac{4}{27}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}
$$
或由 $X \sim B\left(3, \frac{1}{3}\right)$ 的二项分布知 $E(X)=n p=1, D(X)=3 \times \frac{1}{3} \times\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$.
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