题号:2385    题型:填空题    来源:2022年江苏省百校联考高三年级第一次考试
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-3 x+2, x \geq 0 \\ |x+2|, x < 0\end{array}, g(x)=k x+1\right.$. 若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的图象经过四个象限, 则实数 $k$ 的取值范围是
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答案:
$\left(-1, \frac{1}{2}\right)$

解析:

直线 $y=k x+1$ 过定点 $P(0,1), h(x)$ 过四个象限 $\Leftrightarrow f(x)$ 与 $g(x)$ 在正负半轴都有两个交点, 过
$P(0,1)$ 作 $y=x^2-3 x+2(x \geq 0)$ 的切线, 切点设为 $M\left(x_0, x_0^2-3 x_0+2\right), y^{\prime}=2 x-3, k=2 x_0-3$, 切线 $y-\left(x_0^2-3 x_0+2\right)=\left(2 x_0-3\right)\left(x-x_0\right)$ 过 $(1,0), x_0=1$ 时 $k=-1,-1 < x < 0$ 时 $f(x)=x+2$, 斜率为 1 . $\therefore y=|x+2|$ 与 $x$ 轴交于 $N(-2,0), k_{P N}=\frac{1}{2}, \therefore 1 < k < \frac{1}{2}$.

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