已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $S_{n+1}=-S_n+n^2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a_n+a_{n+1}=2 n-1(n \geq 2)$
$\text{B.}$ $a_{n+2}-a_n=2$
$\text{C.}$ 当 $a_1=0$ 时, $S_{50}=1225$
$\text{D.}$ 当数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增时, $a_1$ 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$