题号:2381    题型:多选题    来源:2022年江苏省百校联考高三年级第一次考试
在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 点 $M, N$ 分别是棱 $A_1 D_1, A B$ 的中点, 则
$A.$ 异面直线 $M D$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ $B.$ $M C_1 \perp D_1 N$ $C.$ 四面体 $C A B_1 D_1$ 的外接球体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ $D.$ 平面 $M N C$ 截正方体所得的截面是四边形
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答案:
BC

解析:

建系, $M(1,0,2), \overrightarrow{D M}=(1,0,2), \overrightarrow{A C}=(-2,2,0)$, $|\cos \langle\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{D M}\rangle|=\frac{2}{\sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$, A 错. $\overrightarrow{M C_1}=(-1,2,0), \overrightarrow{D_1 N}=(2,1,-2), \overrightarrow{M C_1} \cdot \overrightarrow{D_1 N}=0, \therefore M C_1 \perp D_1 N$, B 正确; 外接球半径 $2 r=2 \sqrt{3}, r=\sqrt{3}, \therefore V=\frac{4}{3} \pi r^3=4 \sqrt{3} \pi$, C 正确; 截面 $Q M J C N$ 为五边形, $\mathrm{D}$ 错误.
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