在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=\alpha$ ，点 $P$ 为线段 $C A$ 延长线上一动点，连接 $P B$ ，将线段 $P B$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha$ ，得到线段 $P D$ ，连接 $D B, D C$ ．



（1）如图 1，当 $\alpha=60^{\circ}$ 时，（1）求证：$P A=D C$ ；（2）求 $\angle D C P$ 的度数；
（2）如图 2，当 $\alpha=120^{\circ}$ 时，请直接写出 $P A$ 和 $D C$ 的数量关系．
（3）当 $\alpha=120^{\circ}$ 时，若 $A B=6, B P=\sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $C P$ 的距离为 $\qquad$