题号:2318    题型:单选题    来源:邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
如图, 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 动点 $E$ 在线段 $A_1 C_1$ 上, 则
$A.$ 直线 $A_1 C_1$ 与 $B C$ 所成的角为 $30^{\circ}$ $B.$ 对任意的点 $E$, 都有 $B D \perp$ 平面 $A C E$ $C.$ 存在点 $E$, 使得平面 $A B E / /$ 平面 $C C_1 D_1 D$ $D.$ 存在点 $E$, 使得平面 $A B E \perp$ 平面 $C D E$
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答案:
BC

解析:



因为 $A C / / A_1 C_1$, 所以直线 $A_1 C_1$ 与 $B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$, 故 $A$ 错误;
因为 $B D \perp$ 平面 $A C C_1 A_1$, 㪉 $B D \perp$ 平面 $A C E$, 㪉 $\mathrm{B}$ 正确;
当点 $E$ 在 $A_1$ 处时, 平面 $A B E / /$ 平面 $C_1 D_1 D$,
所以存在点 $E$,使得平面 $A B E / /$ 平面 $C C_1 D_1 D$, 故 $\mathrm{C}$ 正确.
如图, 过点 $E$ 作 $M N / / A_1 B_1$, 则 $M N$ 为平面 $A B E$ 与平面 $C D E$ 的交线,
在正方体中, $A_1 B_1 \perp$ 平面 $B C C_1 B_1$, 所以 $M N \perp$ 平面 $B C C_1 B_1$, 所以 $B N \perp M N$, $C N \perp M N$, 所以 $\angle B N C$ 即为平面 $A B E$ 与平面 $C D E$ 所成的夹角,
因为点 $N$ 一定在以 $B C$ 为直径的圆外,
所以 $\angle B N C < 90^{\circ}$, 所以不存在点 $E$, 使得平面 $A B E \mid$ 平面 $C D E$, 故 D 错误. (设正方体的棱长为 $1, B_1 N$ $-x$, 则 $\tan \angle B_1 B N-x, \tan \angle C_1 C N-1-x$,
所以 $\tan / B N C-\tan \left(/ B_1 B N+\angle C_1 C N\right)-\frac{x+(1-x)}{1-x(1-x)}-\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$,
当 $x-\frac{1}{2}$ 时, $\tan / B N C$ 取得最大值, 为 $\frac{1}{3}$, 此时 $/ B N C$ 为哾角, 故 D错误.)
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