题号:2316    题型:单选题    来源:邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}=1(a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 离心率为 $2, P$ 为 $C$ 上一点, 则
$A.$ 双曲线 $C$ 的实轴长为 2 $B.$ 双曲线 $C$ 的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$ $C.$ $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=2$ $D.$ 双曲线 $C$ 的焦距为 4
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答案:
ABD

解析:

由双曲线方程知: 离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+3}}{a}=2$, 解得 $a=1$, 故 $C: x^2-\frac{y^2}{3}=1$, 实半轴长为 1 , 实轴 长为 $2 a=2$, A 正确; 因为可求得双曲线渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{3} x$, 故一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x, \mathrm{~B}$ 正确; 由于 $P$ 可能在 $C$ 的不同分支上, 则有 ||$P F_1|-| P F_2||=2$, C 错误; 焦距为 $2 c=2 \sqrt{a^2+b^2}=4, \mathrm{D}$ 正确.
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