如图，珍珍利用一张直径 $A B$ 为 8 cm 的半圆形纸片探究圆的知识。将半圆形纸片沿弦 $A P$ 折叠。
（1）如图 1，$P Q$ 为 $\odot O$ 的切线，当 $\angle P A B=45^{\circ}$ 时，求证：$P Q / / A B$ ．
（2）如图 2，当 $\angle P A B=30^{\circ}$ 时，通过计算比较 $A P$ 与 $\overparen{B P}$ 哪个长度更长．（ $\pi$ 取 $3.14, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）
（3）如图 3．$M$ 为 $\widehat{A P}$ 的中点，$M$ 为点 $M$ 关于弦 $A P$ 的对称点，当 $\angle P A B=15^{\circ}$ 时，直接写出点 $M$ 与点 $M'$之间的距离约为 $\qquad$ cm ．（结果保留两位小数，参考数据： $\sin 15^{\circ} \approx 0.26, \tan 15^{\circ} \approx 0.27$）