题号:2284    题型:解答题    来源:2022年重庆市中考数学试卷A卷
若一个四位数 $M$ 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 $M$ 去掉个位与十位数字后得到的两位数, 则这 个四位数 $M$ 为 “勾股和数”.
例如: $M=2543, \because 3^2+4^2=25 , \therefore 2543$ 是 “勾股和数”;
又如: $M=4325 , \because 5^2+2^2=29 , 29 \neq 43 , \therefore 4325$ 不是 “勾股和数”.
(1) 判断 2022,5055 是否是 “勾股和数”,并说明理由;
(2)一个 “勾股和数” $M$ 的千位数字为 $a$, 百位数字为 $b$, 十位数字为 $c$, 个位数字为 $d$, 记
$G(M)=\frac{c+d}{9}, \quad P(M)=\frac{|10(a-c)+(b-d)|}{3}$. 当 $G(M), P(M)$ 均是整数时, 求出所有满足条件的
$M$
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答案:
【小问 1 详解】
解: 2022 不是“勾股和数”, 5055 是“勾股和数”;
理由: $\because 2^2+2^2=8,8 \neq 20$,
$\therefore 1022$ 不是“勾股和数”;
$\because 5^2+5^2=50$,
$\therefore 5055$ 是“勾股和数”;
【小问 2 详解】
$\because M$ 为“勾股和数”,
$\therefore 10 a+b=c^2+d^2$,
$\therefore 0 < c^2+d^2 < 100$,
$\because G(M)=\frac{c+d}{9}$ 为整数,
$\therefore c+d=9$,
$\because P(M)=\frac{|10(a-c)+(b-d)|}{3}=\frac{|10 a+b-10 c-d|}{3}=\frac{\left|c^2+d^2-9 c-9\right|}{3}$ 为整数,
$\therefore c^2+d^2=81-2 c d$ 为 3 的倍数,
$\therefore$ (1) $c=0, d=9$ 或 $c=9, d=0$, 此时 $M=8109$ 或 8190 ;
(2) $c=3, d=6$ 或 $c=6, d=3$, 此时 $M=4536$ 或 4563 ,
综上, $M$ 的值为 8109 或 8190 或 4536 或 4563 .
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