题号:2283    题型:解答题    来源:2022年重庆市中考数学试卷A卷
如图, 三角形花园 $A B C$ 紧邻湖泊, 四边形 $A B D E$ 是沿湖泊修建的人行步道. 经测量, 点 $C$ 在点 $\mathrm{A}$ 的 正东方向, $A C=200$ 米. 点 $E$ 在点 $\mathrm{A}$ 的正北方向. 点 $B, D$ 在点 $C$ 的正北方向, $B D=100$ 米. 点 $B$ 在 点 $\mathrm{A}$ 的北偏东 $30^{\circ}$, 点 $D$ 在点 $E$ 的北偏东 $45^{\circ}$.

(1) 求步道 $D E$ 的长度 (精确到个位);
(2) 点 $D$ 处有直饮水, 小红从 $\mathrm{A}$ 出发沿人行步道去取水, 可以经过点 $B$ 到达点 $D$, 也可以经过点 $E$ 到达 点 $D$. 请计算说明他走哪一条路较近? (参考数据: $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732$ )
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答案:


【小问 1 详解】
解: 过 $E$ 作 $B C$ 的垂线, 垂足为 $H$,
$\therefore \angle C A E=\angle C=\angle C H E=90^{\circ}$,
$\therefore$ 四边形 $A C H E$ 是矩形,
$\therefore E H=A C=200$ 米,
根据题意得: $\angle D=45^{\circ}$,
$\therefore \triangle D E H$ 为等腰直角三角形,
$\therefore D H=E H=200$ 米,
$\therefore D E=\sqrt{2} E H=200 \sqrt{2} \approx 283$ (米);
【小问 2 详解】
解:根据题意得: $\angle A B C=\angle B A E=30^{\circ}$,
在 $\mathrm{RA} \mathrm{V} A B C$ 中,
$$
\therefore A B=2 A C=400 \text { 米, }
$$
$\therefore$ 经过点 $B$ 到达点 $D$, 总路程为 $A B+B D=500$ 米,
$$
\therefore B C=\sqrt{A B^2-B C^2}=200 \sqrt{3} \text { (米), }
$$
$\therefore A E=C H=B C+B D-D H=200 \sqrt{3}+100-200=200 \sqrt{3}-100$ (米),
$\therefore$ 经过点 $E$ 到达点 $D$, 总路程为 $200 \sqrt{2}+200 \sqrt{3}-100 \approx 529 > 500$,
$\therefore$ 经过点 $B$ 到达点 $D$ 较近.
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