题号:2130    题型:单选题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则下列结论中 不正确的是
$A.$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布. $B.$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布. $C.$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布. $D.$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布.
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答案:
B

解析:

解 因为 $X_i \sim N(\mu, 1)$,
所以 $X_i-\mu \sim N(0,1)$,
则 $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n)$, 故 A 正确;
因为 $\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{1} \sim \chi^2(n-1)$, 故 C 正确;
因为 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$,
所以 $\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$,

则 $n(\bar{X}-\mu)^2 \sim \chi^2(1)$, 故 D 正确.
对于 B 选项: $X_n-X_1 \sim N(0,2)$,
则 $\frac{X_n-X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$, 所以 $\left(\frac{X_n-X_1}{2}\right)^2 \sim \chi^2$ (1). 从而 B 错误. 故应选 B.
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