题号:2121    题型:解答题    来源:2022年河南省中考数学真题
类型:中考真题
为弘扬民族传统体育文化, 某校将传统游戏 “滚铁环” 列入了校运动会的比赛项日. 滚铁环器材山铁环和推杆组成. 小明对滚铁环的启动阶段进行了研究, 如图, 滚铁环时, 铁环 $\odot O$ 与水平 地面相切于点 $C$, 推杆 $A B$ 与铅垂线 $A D$ 的夹角为 $\angle B A D$, 点 $O, A, B, C, D$ 在同一平面内. 当推杆 $A B$ 与铁环 $\odot O$ 相切于点 $B$ 时, 手上的力量通过切点 $B$ 传递到铁环上,会有较好的启动效果.


(1) 求证: $\angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{BAD}=\mathbf{9 0}^{\circ}$.
(2) 实践中发现, 切点 $\mathbf{B}$ 只有在铁环上一定区域内时, 才能保证 铁环平稳启动. 图中点 $\mathrm{B}$ 是该区域内最低位置, 此时点 $\mathbf{A}$ 距地面的 距离 $\mathrm{AD}$ 最测得 $\cos \angle B A D=\frac{3}{5}$. 已知铁环 $\odot O$ 的半径为 $25 \mathrm{~cm}$, 推 杆 $A B$ 的长为 $75 \mathrm{~cm}$, 求此时 $A D$ 的长.
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答案:
(1) 证明: 方法 1: 如图 1, 过点 $B$ 作 $E F / / C D$, 分别交 $A D$ 于点 $E$, 交 $O C$ 于点 $F$.

$\because C D$ 与 $\odot O$ 相切丁点 $C$,
$\therefore \angle O C D=90^{\circ}$.
$\because A D \perp C D$,
$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$.
$\because E F / / C D$,
$\therefore \angle O F B=\angle A E B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle B O C+\angle O B F=90^{\circ}, \angle A B E+\angle B A D=90^{\circ}$,
$\because A B$ 为 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \angle O B A=90^{\circ}$.
$\therefore \angle O B F+\angle A B E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle O B F=90^{\circ}$.
$\therefore \angle O B F+\angle A B E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle O B F=\angle B A D$,
$\therefore \angle B O C+\angle B A D=90^{\circ} ;$


(2)参考上图 $$
\begin{aligned}
&\because A B=75, \cos \angle B A D=\frac{3}{5}, \\
&\therefore A E=45 . \\
&\text { 申 (1) 知, } \angle O B F=\angle B A D, \\
&\therefore \cos \angle O B F=\frac{3}{5}, \\
&\text { 在 Rt } \triangle O B F \text { 中, } \\
&\because O B=25, \\
&\therefore B F=15, \\
&\therefore O F=20 . \\
&\because O C=25, \\
&\therefore C F=5 . \\
&\because \angle O C D=\angle A D C=\angle C F E=90^{\circ}, \\
&\therefore B \text { 四过形 } C D E F \text { 为矩形, } \\
&\therefore D E=C F=5, \\
&\therefore A D=A E+E D=50 \mathrm{~cm} .
\end{aligned}
$$

解析:

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