为弘扬民族传统体育文化, 某校将传统游戏 “滚铁环” 列入了校运动会的比赛项日. 滚铁环器材山铁环和推杆组成. 小明对滚铁环的启动阶段进行了研究, 如图, 滚铁环时, 铁环 $\odot O$ 与水平 地面相切于点 $C$, 推杆 $A B$ 与铅垂线 $A D$ 的夹角为 $\angle B A D$, 点 $O, A, B, C, D$ 在同一平面内. 当推杆 $A B$ 与铁环 $\odot O$ 相切于点 $B$ 时, 手上的力量通过切点 $B$ 传递到铁环上,会有较好的启动效果.


(1) 求证: $\angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{BAD}=\mathbf{9 0}^{\circ}$.
(2) 实践中发现, 切点 $\mathbf{B}$ 只有在铁环上一定区域内时, 才能保证 铁环平稳启动. 图中点 $\mathrm{B}$ 是该区域内最低位置, 此时点 $\mathbf{A}$ 距地面的 距离 $\mathrm{AD}$ 最测得 $\cos \angle B A D=\frac{3}{5}$. 已知铁环 $\odot O$ 的半径为 $25 \mathrm{~cm}$, 推 杆 $A B$ 的长为 $75 \mathrm{~cm}$, 求此时 $A D$ 的长.