题号:2117    题型:解答题    来源:2022年河南省中考数学真题
如图, 反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}(x > 0)$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(2,4)$ 和点 $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{B}$ 在点 $\mathrm{A}$ 的下方, $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle O A B$, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{C}$.
(1)求反比例函数的表达式
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $\mathrm{AC}$ 的垂直平分线. (要求: 不写作法, 保留作图痕迹)
(3) 线段 $\mathrm{OA}$ 与 (2) 中所作的垂直平分线相交于点 D. 连接 $\mathrm{CD}$. 求 证: $\mathbf{C D} / / \mathbf{A B}$.
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答案:
(1) 解: $\because$ 反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}(x > 0)$ 的图象经过点 $A(2,4)$, $\therefore k=2 \times 4=8$,
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{8}{\mathrm{x}}$;

(2) 解: 如图, 直线 $ m $ 即为所求.


(3) 证明: $\because A C$ 平分 $\angle O A B$,
$\therefore \angle O A C=\angle B A C$,
$\because$ 直线 $m$ 垂直平分线段 $A C$,
$\therefore D A=D C$,
$\therefore \angle O A C=\angle D C A$,
$\therefore \angle D C A=\angle B A C$,
$\therefore C D / / A B .$

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