如图, 反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}(x>0)$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(2,4)$ 和点 $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{B}$ 在点 $\mathrm{A}$ 的下方, $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle O A B$, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{C}$.
（1）求反比例函数的表达式
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $\mathrm{AC}$ 的垂直平分线. (要求: 不写作法, 保留作图痕迹)
(3) 线段 $\mathrm{OA}$ 与 (2) 中所作的垂直平分线相交于点 D. 连接 $\mathrm{CD}$. 求 证： $\mathbf{C D} / / \mathbf{A B}$.