某校南门前有条长 80 米, 宽 8 米的公路（如图矩形 $A B C D$ ）, 公路的一侧划有 16 个长 5 米宽 2.5 米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M=3$ (米), 停车位相对道路倾斜的角度 $\angle E^{\prime} A^{\prime} M=\alpha$, 其中 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$, 则