已知 $P$ 为 $\triangle A B C$ 所在的平面内一点, 则下列命题正确的是（）
A
若 $P$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2$, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}=2$
B
若 $P$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的外心, $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ 且 $x+2 y=1$, 则 $A B=B C$
C
若 $\overrightarrow{A P}=\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|_{\sin ^B}}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|_{\sin } C}\right)(\lambda \in R)$, 则点 $P$ 的轨迹经过 $\triangle A B C$ 的重心
D
若 $\overrightarrow{A P}=\left(\frac{1}{|\overrightarrow{A B}|_{\cos ^B}}+\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{A B}+\left(\frac{1}{|\overrightarrow{A C}|_{\cos } C}+\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{A C}$, 则点 $P$ 的轨迹经过 $\triangle A B C$ 的内心
E
F