已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+\cos (2 x+2 \theta)$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\pi$ 是函数 $f(x)$ 的一个周期
$\text{B.}$ 存在 $\theta$, 使得函数 $f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ 当 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 当 $\theta=\pi$ 时, 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(2 \pi, 0)$ 中心对称
$\text{E.}$
$\text{F.}$