题号:2053    题型:解答题    来源:2022-2023南宁中学数学第三次模拟考试
如图, 已知抛物线 $y=a x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x+c(a \neq 0)$ 经过原 点 $O$, 与 $x$ 轴交于点 $A(-4 \sqrt{3}, 0)$, 直线 $y=\sqrt{3} x+6$ 交
(1)求抛物线的解析式:
(2)若点 $D$ 是点 $C$ 关于抛物线对称轴的对称点, 连接 $C D$, 求 $C D$ 的长;
(3) 若点 $P$ 为线段 $A O$ 上的一个动点, 连接 $P D$, 以 $P D$ 为边向右作等边三角形 $P D Q$. 当点 $P$ 从点 $A$ 开始向右运动到点 $O$ 时, 线段 $D Q$ 扫过的面积为
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答案:
解: (1) $\because$ 抛物线经过原点, $\therefore c=0$
把点 $\mathrm{A}(-4 \sqrt{3}, 0)$ 代入 $y=\alpha x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x$, 得:
$a \cdot(-4 \sqrt{3})^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} \times(-4 \sqrt{3})=0$, 解得: $a=\frac{1}{3}$
$\therefore$ 抛物线的解析式是 $y=\frac{1}{3} x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x $

(2) 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3} x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x \\ y=\sqrt{3} x+6\end{array}\right.$,
得 $\frac{1}{3} x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x=\sqrt{3} x+6$
解得 $x_1=-3 \sqrt{3}, x_2=2 \sqrt{3}$ (舍去)

把 $x=-3 \sqrt{3}$ 代入 $y=\sqrt{3} x+6$, 得 $y=\sqrt{3} \times(-3 \sqrt{3})+6=-3$
$\therefore$ 点 $\mathrm{C}$ 的坐标为 $(-3 \sqrt{3},-3), $
对称轴为 $x=-\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}{2 \times \frac{1}{3}}=-2 \sqrt{3}$,
$\because$ 点 $D$ 是点 $C$ 关于抛物线对称轴的对称点
$\therefore$ 点 D 的横坐标为 $-2 \sqrt{3}+|-2 \sqrt{3}-(-3 \sqrt{3})|=-\sqrt{3}$
$\therefore$ 点 $\mathrm{D}$ 的坐标为 $(-\sqrt{3},-3) \quad C D=2 \sqrt{3} $

(3) $6 \sqrt{3} $

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