题号:2051    题型:解答题    来源:2022-2023南宁中学数学第三次模拟考试
类型:模拟考试
已知 Rt $\triangle A B C, \angle A B C=90^{\circ}, A B=9, B C=12$, 以 $A B$ 为直㠹作圆 $O$ 交 $A C$ 于点 $E$, 点 $D, F$ 分别在边 $B C, A B$
上, 连接 $D E, C F$, 且满足 $D E=D B, \tan \angle A C F=\frac{1}{3}$.
(1) 求证: $D E$ 为 $\odot O$ 的切线:
(2) 求 $C F$ 的长.
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答案:
(1) 证明: 连接 $O E, O D$,
$\because O B=O E, D E=D B, O D=O D$
$\therefore \triangle O B D \cong \triangle O E D(S S S)$
$\therefore \angle O E D=\angle O B D=90^{\circ}$
$\therefore D E$ 为 $\odot O$ 的切线


(2) 过点 $F$ 作 $F G \perp A C$, 垂足为点 $G$,
在 $R t \triangle A B C$ 中, $\tan \angle B A C=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$, 设 $F G=4 x$, 则 $A G=3 x$ 在 Rt $\triangle C G F$ 中, $\tan \angle A C F=\frac{F G}{C G}=\frac{1}{3}, \therefore C G=12 x$ $\therefore A C=A G+C G=3 x+12 x=15 x=15, x=1$
$\therefore F G=4, C G=12$ $.7$ 分
$\therefore C F=\sqrt{F G^2+C G^2}=4 \sqrt{10}$


解析:

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