已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R , 记 $g(x)=f^{\prime}(x)$, 若 $f(x)+f(2-x)=2$, $g(x-1)$ 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）
$\text{A.}$ $f(0)+f(1)+f(2)=3$
$\text{B.}$ $g(x+4)=g(x)$
$\text{C.}$ $f(x+4)=f(x)$
$\text{D.}$ $g\left(\frac{1}{2}\right)=g\left(\frac{3}{2}\right)$