已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 短轴长为 2 .
(I) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
( II ) 在圆 $O: x^2+y^2=3$ 上取一动点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线, 切点分别记为 $M, N$, ( $P M$ 与 $P N$ 的斜率均存在), 直线 $P M, P N$ 分别与圆 $O$ 相交于异于点 $P$ 的 $A 、 B$ 两 点.
(i) 求证: $|A B|=2 \sqrt{3}$;
(ii) 求 $\triangle O M N$ 面积的取值范围.