题号:2003    题型:解答题    来源:2022年哈三中第二次高考模拟考试 数学试卷 (理工类)
如图 1, 矩形 $A B C D$, 点 $E, F$ 分别是线段 $A B, C D$ 的中点, $A B=4, A D=2$, 将 矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 翻折
(I) 若所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{2}$ (如图 2) , 求证: 直线 $C E \perp$ 面 $D B F$;
(II) 若所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ (如图 3), 点 $M$ 在线段 $A D$ 上, 当直线 $B E$ 与面 $E M C$ 所 成角为 $\frac{\pi}{4}$ 时, 求二面角 $D-E M-C$ 的余弦值.
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答案:
(I)
$\because$ 面 $E A D F \perp$ 面 $B E F C$ 且 $D F \perp E F$
$\therefore D F \perp$ 面 $B E F C$
$\because C E \subset$ 面 $B E F C$
$\therefore C E \perp D F$
又 $\because C E \perp B F$ 且 $B F \cap D F=F$
$\therefore C E \perp$ 面 $D B F$

(II) 过 $B$ 作 $B H \perp A E$ 交 $A E$ 于点 $H$
由已知可得 $A E \perp E F, B E \perp E F, A E \cap B E=E$
$\therefore E F \perp$ 面 $A B E$, 且 $\angle A E B$ 为折成二面角的平面角, 即 $\angle A E B=\frac{\pi}{3}$
$\because B H \subset$ 面 $A B E \therefore E F \perp B H$, 取 $B F$ 的中点 $I$
如图所示, 建立以 $H$ 为坐标原点, $H A, H I, H B$ 所在直线为 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴建立的 空间直角坐标系

则 $B(0,0, \sqrt{3}) E(-1,0,0) C(0,2, \sqrt{3}) D(1,2,0)$ 设 $M(1, m, 0)$
$\overrightarrow{E B}=(1,0, \sqrt{3}) \overrightarrow{E C}=(1,2, \sqrt{3}) \overrightarrow{E M}=(2, m, 0) \quad(0 < m < 2)$
设面 $E M C$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1},\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{E C}=0 \\ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{E M}=0\end{array}\right.$, 则 $\overrightarrow{n_1}=\left(m,-2, \frac{4-m}{\sqrt{3}}\right) $

设直线 $B E$ 与面 $E M C$ 所成角为 $\theta$, 则 $\sin \theta=\cos \left\langle\overrightarrow{E B}, \overrightarrow{n_1}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{E B} \cdot \overrightarrow{n_1}}{|\overrightarrow{E B}|\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得 $m=1$
则面 $E M C$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(1,-2, \sqrt{3})$, 面 $D E M$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(0,0,1)$
则 $\cos \left\langle\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{6}}{4}$. $11^{\prime}$
设面与面 $E M C$ 所成角为 $\varphi, \varphi$ 为锐角, 则
$\cos \varphi= \frac{\sqrt{6}}{4} $
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