题号:1961    题型:解答题    来源:2014年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是末知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $E(X)$ 与 $E\left(X^{2}\right)$;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta_{n}}$;
(III) 是否存在实数 $a$, 使得对任何 $\varepsilon > 0$, 都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta_{n}}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ?
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答案:
解 (I) 总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{2 x}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0 .\end{cases}$ $E X=\int_{0}^{+\infty} x \cdot \frac{2 x}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}} \mathrm{d} x=-\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{de}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}} \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi \theta}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi \theta}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}} \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi \theta}}{2}$, $E X^{2}=\int_{0}^{+\infty} x^{2} \cdot \frac{2 x}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}} \mathrm{d} x=\theta \int_{0}^{+\infty} u \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} u=\theta$.
(II) 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为样本观测值, 似然函数为
$$
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)= \begin{cases}\frac{2^{n} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{\theta^{n}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{0} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}, & x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} > 0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
当 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} > 0$ 时, $\ln L(\theta)=n \ln 2+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}-n \ln \theta-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}$. 令 $\frac{\mathrm{d} \ln L(\theta)}{\mathrm{d} \theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=0$, 得 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\hat{\theta}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}$. 从而 $\theta$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\theta}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} .
$$
(III) 存在, $a=\theta$. 因为 $\left\{X_{n}^{2}\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列, 且 $E X_{1}^{2}=\theta < +\infty$, 所以根据 辛钦大数定律, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\hat{\theta}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收玫于 $E X_{1}^{2}$, 即 $\theta$. 所以对任何 $\varepsilon > 0$ 都有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta}_{n}-\theta\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0
$$

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