已知函数 $f(x)=\cos \omega x-\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$, 若 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的值域为 $\left[-1, \frac{1}{2}\right]$, 则 $\omega$ 的取值范围为 $(\quad)$
A
$\left[\frac{2}{3}, 1\right]$
B
$\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]$
C
$\left[\frac{7}{6}, \frac{4}{3}\right]$
D
$\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{6}\right]$
E
F