题号:1888    题型:解答题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收玫域及和函数.
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答案:
解 (1) 记 $u_{n}(x)=\frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$, 则由
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}\right| &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x^{2(n+1)} \cdot \frac{4(n+1)^{2}+4(n+1)+3}{2(n+1)+1}\right| x^{2 n} \cdot \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} \\
&=x^{2} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{4(n+1)^{2}+4(n+1)+3}{4 n^{2}+4 n+3} \cdot \frac{2 n+1}{2 n+3}\right|=x^{2}
\end{aligned}
$$
当 $x^{2} < 1$, 即 $|x| < 1$ 时幂级数收敛; 当 $x^{2} > 1$, 即 $|x| > 1$ 时, 幂级数发散, 故收玫半径 $R$ $=1$, 则收玫区间为 $(-1,1)$, 又由于 $x=\pm 1$ 时, 一般项为无穷大量, 幂级数发散, 故收玫域为 $(-1,1)$.
(2) 记 $S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的和函数, 则
$$
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n+1)^{2}+2}{2 n+1} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{2 n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} x^{2 n} .
$$
记 $S_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{2 n}, \quad S_{2}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} x^{2 n}$ 由幂级数和函数的性质可得
$$
S_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(x^{2 n+1}\right)^{\prime}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n+1}\right)^{\prime}=\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)^{\prime}=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}, \quad x \in(-1,1)
$$
由于 $x S_{2}(x)=2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$, 故由幂级数和函数的性质可得:
$$
\left[x S_{2}(x)\right]^{\prime}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}\right)^{\prime}=2 \sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}=\frac{2}{1-x^{2}}
$$
所以 $x S_{2}(x)=\int_{0}^{x}\left[t S_{2}(t)\right]^{\prime} \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} \frac{2}{1-t^{2}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right) \mathrm{d} t=\left.\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|\right|_{0} ^{x}$ $=\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|$
故 $S_{2}(x)=\frac{1}{x} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|=\frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x}, x \in(-1,1)$ 且 $x \neq 0$ 又 $S_{1}(0)=1, S_{2}(0)=2$.
故 $\dot{S}(x)=\dot{S}_{1}(x)+\dot{S}_{2}(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}+\frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x}, x \in(-1,1), \text { 且 } x \neq 0, \\ 3 \quad, x=0 .\end{array}\right.$
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