祖晅是我国南北朝时期伟大的数学家. 祖㮛原理用现代语言可以描述为 "夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等". 例如, 可以用祖晅原理推导半球的体积公式, 如图, 底面半径和高都为 $R$ 的圆柱与半径为 $R$ 的半球放置在同一底平面上, 然后在圆柱内挖去一个半径为 $R$, 高为 $R$ 的圆锥后得到一个新的几何体, 用任何一个平行于底面的平面 $\alpha$ 去截这两个几何体时, 所截得的截面面积总相等, 由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等. 若用平行于半球底面的平面 $\alpha$ 去截半径为 $R$ 的半球, 且球心到平面 $\alpha$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2} R$, 则平面 $\alpha$ 与半球底面之间的几何体的体积是
A
$\frac{5 \sqrt{2}}{24} \pi R^3$
B
$\frac{7 \sqrt{2}}{24} \pi R^3$
C
$\frac{5 \sqrt{2}}{12} \pi R^3$
D
$\frac{7 \sqrt{2}}{12} \pi R^3$
E
F