已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{a(x+1)}{x-1}(a \in \mathrm{R})$, 则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 当 $a>0$ 时, $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 的图象在 $x=2$ 处的切线与直线 $x+2 y-5=0$ 垂直, 则实数 $a=\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ 当 $-1 < a < 0$ 时, $f(x)$ 不存在极值
$\text{D.}$ 当 $a>0$ 时, $f(x)$ 有且仅有两个零点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 x_2=1$
$\text{E.}$
$\text{F.}$