已知: 如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$, 与 $x$ 轴负半轴交于点 $D, O B=\sqrt{5}, \tan \angle D O B=\frac{1}{2}$.
（1）求反比例函数的解析式;
（2） 当 $S_{\triangle A C O}=\frac{1}{2} S_{\triangle O C D}$ 时, 求点 $C$ 的坐标.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$